Subruang Vektor - Ratbemath

 

Subruang Vektor

Taukah kamu ? Semua yang ada dalam alam semesta telah ada dan terisyaratkan dalam al-qur'an. Sama halnya dengan subruang. Pernyataan Allah dalam QS Al Baqarah(2) : 186

Artinya :

"Dan apabila hamba-hamba-Ku bertanya kepadamu (Muhammad) tentang Aku, maka sesungguhnya Aku dekat. Aku Kabulkan permohonan orang yang berdoa apabila dia berdoa kepada-Ku. Hendaklah mereka itu memenuhi (perintah)-Ku dan beriman kepada-Ku, agar mereka memperoleh kebenaran."

Dari ayat diatas terdapat potongan arti, ”maka sesunggguhnya Aku  dekat”  Dari sekian banyak sifat Allah dua diantaranya adalah Al-Kabiir (Maha Besar) dan Al- Azhiim (Maha Agung). Karena Allah bersifat “Maha” maka kebesaran dan keagungan-Nya adalah lebih dari segala yang ada pada ciptaan-Nya. Demikian pula halnya dengan dimensi Allah, Allah menempati dan menguasai suatu ruang vektor dengandimensi yang Maha Besar pula.

Sehingga dapat dikatakan Allah menempati dan menguasai suatu Maha ruang vektor, dimana seluruh ruang vektor yang ada di alam semesta ini termuat di dalam Maha ruang vektor tersebut. Atau dengan kata lain setiap ruang vektor dari ciptaan Allah, berapapun besar dimensinya akan selalu termuat di dalam Maha ruang vektor Allah. Sehingga jarak antara ciptaan Allah yang merupakan komponen dari suatu ruang vektor, katakan berdimensi n dengan Allah adalah sama dengan nol. Oleh sebab itu maka Allah menyatakan bahwa Allah adalah dekat. Hal ini dikuatkan oleh firman Allah yang lain di dalam Al-Qur’an: 

Artinya:

“Dan sesungguhnya Kami telah menciptakan manusia dan mengetahui apa yang dibisikkan oleh hatinya, dan Kami lebih dekat kepadanya daripada urat lehernya” (QS. Qaaf (50): 16)

Materi selanjutnya pada bagian ini adlah subruang vektor. Tau gak sih, subruang vektor itu apa ??? Yukkk, belajar...

Definisi Subruang vektor  

Subruang Vektor biasa disebut juga dengan Ruang Bagian. Misal jika diberikan suatu ruang vektor V maka kita mungkin membentuk ruang vektor lain yang merupakan subhimpunan S dari V dan menggunakan operasi-operasi pada V. Karena V merupakan ruang vektor,operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar selalu menghasilkan vektor lain di V. 

    Bagi sistem baru menggunakan subhimpunan S dari V sebagai himpunan semestanya untuk dapat menjadi ruang vektor, himpunan S harus tertutup dibawah operasi-operasi penjumlahan dan perkalian sklar. Artinya, jumlah dari dua elemen di S harus selalu merupakan elemen dari S dan hasil kali suatu skalar dengan elemen dari S harus selalu merupakan elemen dari S.

    Misalkan V ruang vektor, U⊆ V dan U ≠ ∅, U disebut subruang dari V jika U ruang vektor pada operasi yang sama dengan di V. Sebagai contoh, ruang nol adalah himpunan bagian dari ruang vektor yang lain. Kenyataannya bahwa setiap anggota U juga anggota V menyebabkan aksioma (2,3,4,5,6,7,8,9,10) yang dipenuhi di V juga dipenuhi di U karena U merupakan ruang vektor maka aksioma ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar dapat dipenuhi. Maka didapatkan kesimpulan:

Sumber materi : Dinda,Dona Pratiwi. 2019. Aljabar Linear Untuk Prodi Pendidikan Matematika, Surabaya:CV. Gemilang.

Teorema :

 Misalkan U ruang vektor,  U⊆ V dan U≠ ∅,U subruang dari V jika dan hanya jika dipenuhi kedua aksioma berikut :

1. ∀ u, v  Є U, maka u+ v

2.  ∀ u Є U, ∀ k Є R maka ku Є U

 Kedua aksioma di atas ekuivalen dengan mengatakan

3.  ∀ u, v  Є U, dan ∀ k , l Є R maka ku + lv Є U

 

Subruang bagian juga dapat dinyatakan menggunakan syarat-syarat berikut, dimana syarat ini ekuivalen dengan syarat-syarat yang telah dijelaskan diatas.

 1. ax Є S jika x Є S untuk sembarang skalar α

Note : Syarat yang pertama mengatakan bahwa S tertutup dibawah perkalian skalar. Artinya, bilamana suatu elemen dari S dikalikan suatu skalar, maka hasilnya merupakan elemen dari S

 

2. x + y Є S jika x Є S dan y Є S

     Note : Syarat kedua menyatakan bahwa S tertutup dibawah penjumlahan. Artinya jumlah elemen dari S selalu merupakan elemen dari S.

 

    Jadi, jika kita melakukan perhitungan dengan menggunakan operasi-operasi dari  dan elemen-elemen dari S, maka kita akan selalu menghasilkan elemen-elemen dari S. Oleh karena itu, ruang bagian dari V adalah subhimpunan S yang tertutup di bawah operasi-operasi dari V. Berikut adalah contoh dari subruang vektor dan bukan merupakan subruang vektor. Berikut contoh soal dari subruang vektor.

Sumber materi : Dinda,Dona Pratiwi. 2019. Aljabar Linear Untuk Prodi Pendidikan Matematika, Surabaya:CV. Gemilang.

Sumber materi : Dinda,Dona Pratiwi. 2019. Aljabar Linear Untuk Prodi Pendidikan Matematika, Surabaya:CV. Gemilang.

Sri Wahyuni and Yeni Susanti Dkk, Dasar-Dasar Aljabar Linear Dan Penggunaannya Dalam Berbagai Bidang, Ketiga (Yogyakarta: Gajdah Mada University Press, 2021).

 

Sumber video materi : https://youtu.be/xsiu8l_wCeI