Ruang Vektor - Ratbemath

 

Ruang Vektor

Apa itu ruang vektor?

Materi aljabar vektor telah dipelajari di SMA. Pada semester 3 ini, kita akan mempelajari aljabar vektor lebih jauh lagi. Sebelum masuk kemateri, apakah kamu tau apa itu pengertian ruang vektor?

Ruang vektor merupakan bentuk matematika yang dibuat susunan oleh sekumpulan vektor, merupakan objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang dikata skalar. Skalar sering merupakan bilangan riil, tetapi kita juga dapat mendefinisikan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. 

Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dikata aksioma. Contoh ruang vektor merupakan vektor Euklides yang sering dipakai untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil merupakan vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada segi atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Taukah kamu? Dalam al-qur'an Allah  mengisyaratkan mengenai vektor dalam surat Ar-Rum ayat 20 yang berbunyi:

yang artinya    : Dan di antara tanda – tanda kekuasaan-Nya ialah Dia menciptakan kamu dari tanah, kemudian tiba – tiba kamu (menjadi) manusia yang berkembang biak.

Ayat tersebut menunjukkan siklus awal kehidupan, yakni diciptakannya manusia oleh Allah SWT, yang seiring berjalannya waktu akan mengalami perkembangan. Dari ayat tersebut, siklus awal kehidupan diibaratkan sebagai sebuah titik pangkal, dan perkembangannya dimisalkan sebagai suatu ruas garis yang berarah. Jika ada titik awal, maka menurut hukum alam pastilah ada suatu titik akhir.

Yukkk belajar tentang ruang vektor...

1. Ruang n-Euclid

Sebuah vektor  Rⁿ  dinyatakan oleh n bilangan terurut yaitu  u = {u_1,u_2,…… u_n}.  Pada R² atau R³ sebuah urutan bilangan di atas ada maknanya yaitu sebagai titik atau sebagai vektor. Dalam Rⁿ  keduanya dianggap sama sehingga Rⁿ   merupakan generalisasi titik sekaligus generalisasi vektor.

2. Ruang Vektor

Anggap V, adalah sembarang vektor dapat dijelaskan sebagai berikut, anggap V adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan).  

gambar: contoh vektor

Penjumlahan yang kita maksud adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u dan v dalam V dengan suatu objek u+v, yang disebut sebagai jumlah u dan v. Sedangkan perkalian skalar adalah yang menghubungkan setiap skalar k dan objek u ∈ V dengan objek ku. 

Ruang vektor adalah sebuah matriks atau fungsi yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian terhadap skalar yang memenuhi 10 aksioma. Sedangkan apabila matriks atau fungsi tersebut tidak memenuhi salah satunya saja dari kesepuluh aksioma itu maka matriks atau fungsi itu bukan ruang vektor.

Lalu, apa saja contoh ruang vektor dan yang bukan ruang vektor???

Contoh ruang vektor :

1.   V adalah himpunan vektor euclides dengan oprasi standar (oprasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar), notasinya 𝑅𝑛

2.      V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar

Bentuk umum polinom orde-n

P_n(x)= a₁ + a₂ + …. + a_nxⁿ

q_n(x)= b₁ + b₂ + …. + b_nxⁿ 

 Operasi standar pada polinom orde-n

P_n(x) + q_n(x) = a₁ +b_{1 +} ( a_{1 +} b₁ )x + ….+ (a_n +b_n ) xⁿ

           kP_n(x) = ka₁ + ka₂ +…+ ka_nxⁿ

            Notasi untuk ruang vekktor ini adalah 𝑝𝑛

3.   V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan oprasi standar (penjumlahan dan perkalian matrixks dengan scalar). Ruang vektor ini sering dinotasikan dengan .

Contoh bukan ruang vektor:

1. V adalah himpunan vector yang berbentuk (0,y) di R² dengan oprasi vector sebagai berikut :untuk u = (0,u₁ ), v = (0,u₂) , maka ku = (0, ku₂ ) dan u + v = (0, u₂, u₂ ).

2.   V himpunan matriks yang berbentuk dengan oprasi standar, a,b ∈ 𝑅

3.    Ruang Vektor C [a,b]

    Misalkan C [a,b] menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang didefinisikan dan continue pada interval tertutup [a,b]. Dalam kasus ini himpunan semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jadi vektor-vektornya adalah fungsi-fungsi di C [a,b]. Jumlah f + g dari dua fungsi di C [a,b] didefinisikan oleh (f+g) (x) = af (x)

4.  Ruang Vektor Pn

Misalkan Pn adalah himpunan semua polinom dengan derajat lebih kecil dari n. Didefinisikan p + q dan ap oleh ( p+q ) (x) = p(x) + q (x)

Dan (ap)(x) = ap (x)

Untuk semua bilangan real x. Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa aksioma-aksioma A₁ sampai  A₈ dipenuhi. Jadi Pn dengan penjumlahan dan perkalian skalar fungsi yang biasa merupakan suatu ruang vektor.

Aksioma 1: a + b = ( x_1,  x₂) + (y₁, y₂ )=( x₁ + y_1,  x₂ + y₂)

Aksioma 2 : a + b = b + a

Aksioma 3 : a + (b + c) = ( a + b) + c

Aksioma 4 : a + 0 = 0 + a = a

Aksioma 5 : a+ (-a) = (-a) + a = 0

Aksioma 6 : k.a = k (x₁, x₂) = kx₁ + kx₂

Aksioma 7 : k ( a+ b) = ka + kb

Aksioma 8 : (k + l). a = ka + la

Aksioma 9 : (kl).a = k (la)

Aksioma 10 :1 + a = a

     Jadi S adalah ruang vektor karena memnuhi 10 aksioma.

Sumber materi : Sri Wahyuni and Yeni Susanti Dkk, Dasar-Dasar Aljabar Linear Dan Penggunaannya Dalam Berbagai Bidang, Ketiga (Yogyakarta: Gajdah Mada University Press, 2021).

Contoh soal :

1. Jika V himpunan semua vektor di R³, dengan operasi penjumlahan u + v = (u_{1 +} v2 , u₂ + v_1, u₃ + v_{3  )}  sedangkan perkalian dengan scalar ku = (ku_1, ku_2, ku₃).  Buktikan bahwa V ini bukan ruang vektor!

Penyelesaian :

Misal :

 a = (2,3,-1) dan b= (4,2,4)

a+b = ( 2+2, 3+4, (-1) +4) = (4,7,3)

b+a = (4+3, 2+2, (-1)+4) = (7,4,3)

Karena a+b ≠ b+a berarti V ini tidak memenuhi aksioma ke 2 yaitu aksioma komutatif yang dengan demikian V ini bukanlah ruang vektor. 

Sumber materi : Dinda,Dona Pratiwi. 2019. Aljabar Linear Untuk Prodi Pendidikan Matematika, Surabaya:CV. Gemilang.

Sumber video materi : https://youtu.be/yVJORbvtNFI