Dimensi - Ratbemath

 

Definisi Dimensi

Suatu ruang vektor tak-nol V  disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v_1,v_2,….v₃} yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Disamping itu, kita akan menganggap ruang vektor nol sebagai dimensi terhingga.

Teorema 1

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga {v_1,v_2,….v₃} dan adalah sebarang basis, maka:

1.    Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak-bebas secara linear.

2.    Tidak ada himpunan dengan vektor yang kutang dari n yang merentang V.

Teorema 2

Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Teorema 3 (teorama plus/minus)

Anggap S adalah himpunan vektor tak-kosong dalam suatu ruang vektor S.

1.  Jika S adalah himpunan yang bebas secara linear, dan jika  adalah suatu vektor dalam V yang berada diluar rentang (S), maka himpunan S U {v} yang dihasilkan dengan menyelipkan v ke S tetap bebas secara linear.

2.    Jika v adalah suatu ruang vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S, dan jika S-{v} menyatakan himpunan yang diperoleh dengan memindahkan S dari v, maka S dan S-{v} merentangkan ruang yang sama; yaitu,

Rent(S) = rent (S-{v})

Teorema 4

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan dalam V  dengan     tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V atau S bebas secara line. Contoh soal dimensi      berikut ini

Sumber materi :

Dinda,Dona Pratiwi. 2019. Aljabar Linear Untuk Prodi Pendidikan Matematika, Surabaya:CV. Gemilang.

Sri Wahyuni and Yeni Susanti Dkk, Dasar-Dasar Aljabar Linear Dan Penggunaannya Dalam Berbagai Bidang, Ketiga (Yogyakarta: Gajdah Mada University Press, 2021). 

Sumber video materi : https://youtu.be/NFVx22rt8Yw